教育データ分析入門2 第2回

• 2.1 縦断データ
• 2.2 成長曲線モデル
• 2.3 集団の変化
• 練習問題

2.1 縦断データ

• 同じテストを同じ人が数年にわたり受験したデータなどを縦断的データと呼びます。
• 以下の表はAくん、Bくん、Cくんが3年間同じ英語のテストを受けた結果です。

|-| 1年生 | 2年生 | 3年生 -----|-----|-----|----- |Aくん | 52 | 57 | 90 |Bくん | 44 | 70 | 75 |Cくん | 67 | 80 | 95

• 以下のようなことはこの表から分かります。
  • 3回のテストを通じてCくんが常に最も高い点数をとっている。
  • 最も成績が伸びているのはAくん（3年生の点数から1年生の点数を引いた値が最も大きい）
• ですが、「伸び率」のようなものを考えようとした場合、表では難しそうです。
• これをグラフで表すと以下のようになります。

import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

A = [52,57,90]
B = [44,70,75]
C = [67,80,95]
X = ["First year","Second year","Third year"]

plt.plot(X,A,linewidth=0,marker="o",label="A")
plt.plot(X,B,linewidth=0,marker="x",label="B")
plt.plot(X,C,linewidth=0,marker="^",label="C")
plt.legend(loc="upper left")

<matplotlib.legend.Legend at 0x7fdbbf71ff28>

• もう少し分かりやすくするためにそれぞれのデータを 線で結んでみます。

Y = [1,2,3]
plt.xticks([1,2,3])
plt.plot(Y,A,marker="o",label="A")
plt.plot(Y,B,marker="x",label="B")
plt.plot(Y,C,marker="^",label="C")
plt.legend(loc="upper left")

<matplotlib.legend.Legend at 0x7fdbbf79c208>

• グラフで見ると表に比べて変化を捉えることが容易になります。
• 3人の受験者すべてが年を追うごとに点数が上昇していることが分かります。
• 個別に見ると、
  • Aくん（青の線）は1年生の時と2年生の時で点数に違いがないが、3年生の時で点数が大きく上がっている。
  • Bくん（オレンジの線）は1年生の時から2年生の時にかけて大きく上がっているが3年生の時の点数は2年生の時の点数とそれほど変わっていない。
  • Cくん（緑の線）は1年生から2年生、2年生から3年生にかけてほぼ同じ伸び率で得点が上昇している。

2.2 成長曲線モデル

• このような変化を発達軌跡と呼びます。
• この発達軌跡に関してある仮定をするのが成長曲線モデルです。
  • この英語のテストはAくん、Bくん、Cくんの英語の能力を測定している。
  • しかし、テストの点数には誤差が含まれていて、真の点数ではない。例えば、テスト当日の体調が悪かったとか。多肢選択式の問題で適当に選んだ選択肢が正解だったとか。
  • そして、真の発達軌跡は直線で表現できると仮定します。
• 直線なので以下のように傾き(a)と切片(b)の2つを用いて表現できます。 $$ 真の得点 = a \times 受験年度 + b $$
• 以下のように実際に観測されたデータから回帰分析を用いて個人の発達軌跡の直線を求めることができます。

import numpy as np
from scipy import polyfit
X = [1,2,3]
Coef = []
Inter = []

a,b = polyfit(X,A,1)

Coef.append(a)
Inter.append(b)

x = np.arange(1,3,0.01)
y = a*x + b

plt.plot(X,A,linewidth=0,marker="o",label="A")
plt.plot(x,y,color="blue")

a,b = polyfit(X,B,1)

Coef.append(a)
Inter.append(b)

y = a*x + b

plt.plot(X,B,linewidth=0,marker="x",label="B")
plt.plot(x,y,color="orange")

a,b = polyfit(X,C,1)

Coef.append(a)
Inter.append(b)

y = a*x + b

plt.xticks([1,2,3])
plt.plot(X,C,linewidth=0,marker="^",label="C")
plt.plot(x,y,color="green")
plt.legend(loc="upper left")

<matplotlib.legend.Legend at 0x7fdbbf8d0f28>

• このように発達軌跡に直線を仮定することで、点数だけではなく「伸び」の違いを比較することができます。
• また、傾きと切片の相関係数を見ることで、「初期値」と「伸び」の関係を見ることができます。

# 「伸び」の違い
Coef

[18.999999999999986, 15.5, 13.999999999999993]

# 切片と傾きの相関係数
np.corrcoef(Coef,Inter)

array([[ 1.        , -0.81944417],
       [-0.81944417,  1.        ]])

• このデータにおける切片と傾きの相関係数は負であり、ある程度の強さの関係がみられるので、「１年生の時の点数が低いほど伸びる」と言うことができます。
• あるいは、カリキュラムと言う観点から見ると、「１年生の時点で高い点数をとっている学習者にはカリキュラムの効果が弱い」とも言えます。
• 100点満点のテストなので単純に90点以上の点数をとることが難しいのかもしれません。

2.3 集団の変化

2つの異なる教授法で英語を教えたグループがあり、3年間にわたり同じテストを受けた結果のデータを読み込みます。

import pandas as pd

group_A = pd.read_csv("../DATA02/GroupA.csv",index_col=0)
group_A.head()

	first_year	second_year	third_year
S001	86	101	155
S002	98	133	133
S003	71	101	133
S004	60	88	117
S005	24	55	65

group_B = pd.read_csv("../DATA02/GroupB.csv",index_col=0)
group_B.head()

	first_year	second_year	third_year
T001	75	98	123
T002	86	111	140
T003	50	81	101
T004	55	69	111
T005	70	29	34

group_A.describe()

	first_year	second_year	third_year
count	30.000000	30.000000	30.000000
mean	61.066667	82.100000	110.633333
std	18.247217	24.489759	25.910301
min	24.000000	44.000000	65.000000
25%	50.000000	61.750000	94.500000
50%	57.000000	76.500000	111.500000
75%	71.750000	100.500000	123.750000
max	98.000000	133.000000	171.000000

group_B.describe()

	first_year	second_year	third_year
count	30.000000	30.000000	30.000000
mean	68.366667	69.000000	90.533333
std	17.289589	22.777787	26.887676
min	33.000000	29.000000	34.000000
25%	53.500000	55.000000	71.000000
50%	67.500000	68.000000	90.000000
75%	84.250000	84.250000	106.000000
max	96.000000	111.000000	140.000000

• この２つのクラスの平均点を見ると1年目はGroup Bの方が高いですが、2年目以降はGroup Aの方が高くなっていることが分かります。
• 平均点からはGroup Aの方が良い結果が得られていると解釈することができます。
• では、このデータを成長曲線モデルを用いてグラフで表してみましょう。

import numpy as np
from scipy import polyfit

# データフレームをリストに変換
group_A_values = group_A.values

# 実際の点数を線で結ぶ
Y = [1,2,3]
plt.xticks([1,2,3])

for i in group_A_values:
    plt.plot(Y,i,c="grey",marker="+")

# 成長曲線モデル
X = [1,2,3]

x = np.arange(1,3,0.01)

plt.xticks([1,2,3])

for i in group_A_values:
    a,b = polyfit(X,i,1)
    y = a*x + b
    plt.plot(x,y,color="grey")

# データフレームをリストに変換
group_B_values = group_B.values

# 実際の点数を線で結ぶ
Y = [1,2,3]
plt.xticks([1,2,3])

for i in group_B_values:
    plt.plot(Y,i,c="grey",marker="+")

X = [1,2,3]
x = np.arange(1,3,0.01)
plt.xticks([1,2,3])
for i in group_B_values:
    a,b = polyfit(X,i,1)
    y = a*x + b
    plt.plot(x,y,color="grey")

• Group Aはほぼ全員が右肩上がりの直線になっていますが、Group Bは1年目から3年目にかけて点数が下がっている人もいることが分かります。
• このように成長曲線モデルでは、平均点のみでは分からない全体の変化に関する情報を得ることができます。
• 続いて、それぞれのグループの個人の傾きと切片をリストに保存し、比較してみましょう。

# Group Aの傾きと切片の保存
Coef_A = []
Inter_A = []
for i in group_A_values:
    a,b = polyfit(X,i,1)
    y = a*x + b
    Coef_A.append(a)
    Inter_A.append(b)

# Group Aの傾きの平均値
np.mean(Coef_A)

24.783333333333324

# Group Aの傾きの標準偏差
np.std(Coef_A)

6.4493970433074

# Group Aの傾きと切片の相関係数
np.corrcoef(Coef_A,Inter_A)

array([[ 1.        , -0.05863524],
       [-0.05863524,  1.        ]])

# Group Bの傾きと切片の保存
Coef_B = []
Inter_B = []
for i in group_B_values:
    a,b = polyfit(X,i,1)
    y = a*x + b
    Coef_B.append(a)
    Inter_B.append(b)

# Group Bの傾きの平均値
np.mean(Coef_B)

11.083333333333325

# Group Bの傾きの標準偏差
np.std(Coef_B)

13.329843293235758

# Group Bの傾きと切片の相関係数
np.corrcoef(Coef_B,Inter_B)

array([[ 1.        , -0.73057181],
       [-0.73057181,  1.        ]])

• ここまで算出した統計量を解釈すると
  • Group Aの方がGroup Bに比べて傾きの平均値が大きい。すなわち、Group Aの方が全体として伸び率が大きいと言えます。
  • 傾きの標準偏差はGroup Bの方が大きいのでGroup Bの方が伸びのばらつきが大きいと言えます。すなわち、伸びている人とそうでない人の差がある、あるいは伸び率にばらつきがあると言えます。
  • 傾きと切片の相関係数を見ると、Group Aは-0.05で、1年目の点数と伸び率はほとんど関係ないことがわかります。反対にGroup Bは負の相関なので1年目の点数が低い人ほど伸びていると言えます。

練習問題

"../DATA01/IEDA2_04_lc.csv"には２つの異なる学校の生徒が同じテストを3年間継続して受験したテストの結果が保存されています。学校は"School"というコラムで示されています（AあるいはB）。成長曲線モデルを用いてこれらのデータをグラフで表し、それぞれの学校の傾きの平均値、傾きと切片の相関係数を求めなさい。